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罗素悖论引发了数学的第三次危机(唯美精选74句)
发布时间：2023-09-08 16:13:16 admin 阅读:59
罗素悖论引发了数学的第三次危机
1、预言三：外国人将中国改造为现代国家是一件很困难的事，应该静待中国人自行解决。只有中国人才最了解中国，他们自己会慢慢摸索出解决办法才是长久之计。
2、逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还得使用逻辑。(罗素悖论引发了数学的第三次危机)。
3、 前面明确强调，我们讨论的推理型知识网络必须具有自然人的局部可读性。解决“不可读”问题最高明的办法是人的智力，除此之外只能把知识网络中的一个节点扩张为一系列节点，用时间解决问题。注意到在给出“可读性”定义的时候，我们没能够约定人类使用推理辅助工具的类型。事实上，这是前面留下的不容忽视的“漏洞”，它已经造成了许多高技术工具参与到“推理辅助工具”的行列之中，包括计算机和人工智能的一系列前沿科技。计算机和人工智能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，造成了自然人的“不可读”。对这种借助推理工具代替“可读性”的做法你可以不喜欢，你可以不理睬“四色猜想”和“求堆积猜想”的机器证明，但对“不可读”的新冠疫情预测你却不得不接受，因为全世界都在关心新冠疫情啥时能结束？回答这个问题当然不能通过几年，甚至几十年的逻辑推理来完成。
4、 学界对悖论的定义不这里，我们援引陈智论文中张建军的定义：逻辑悖论指谓这样一种理论事实或状况，在某些公认正确的背景知识之下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式
5、贝利一克莱因运动的是20世纪第一个数学教育现代化运动
6、1897年，罗素25岁，把大学论文进一步级思考完善，主要作品《几何学的基础》。
7、费马—独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理，提出用微分子法求极大、极小的步骤，这也是早期微积分的雏形。
8、(2)化圆为方，，即做一个正方形，使其与一个给定的圆面积相等。
9、1890年，罗素18岁，进剑桥大学三一学院，大一至大三专攻数学。获数学荣誉学位。(罗素悖论引发了数学的第三次危机)。
10、1951年，罗素79岁，在纽约哥伦比亚大学马切特基金会讲座演讲“科学对社会的影响”。为哥伦比亚广播电台的第三节目撰稿，谈《美国的政治和文化影响》、《科学方法的性质与根源》，以及《怀疑主义与忍让》。
11、1917年，罗素45岁，写出了《政治理想》、《无政府主义与公团主义》、《为什么人会打仗》。
12、第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
13、第四次数学危机是第三次数学危机的自然延续，它将以引发全面的科学的危机为标志，是一场“数学化科学的危机”。因为哪怕有着重重限制，科学的数学化从而也是公理化总是要进行下去的。数学本身可能不再是想法避开悖论，而是接纳、利用它去开拓一种全新的逻辑思路，开头提到的区别悖论标准形式和传统矛盾律中的矛盾也是思路之一。就是说，曾作为人类基本思维规律的矛盾律、排中律甚至同一律即使在二值逻辑中也不再成立，而代之以悖论的否定形式。真正的矛盾律应该是：并非(P当且仅当非P)，而不是传统的并非(P且非P)。我们还看到，这应该和量子物理中最基本的海森伯不确定性原理和玻尔互补原理联系起来。悖论幽灵将越出它固有的逻辑和数学领地，占据自然科学的一系列制高点。当它同样在其他学科中制造出一系列危机时，这些学科也就同时获得了飞速发展的极大机遇。
14、数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精准性。严谨性是数学学科的基本特点。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。即使是一些最基本、最常用，甚至不能用逻辑方法加以定义的原始概念，数学学科也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定。
15、其人弗能应也。对于这个故事，我们都很清楚地知道，之所以会出现矛盾，是因为这位楚人过分夸大他的予与盾。关于该予是否能刺穿该盾，这位楚人给出了自相矛盾的说法。因此，对于该予是否能刺穿该盾，这位楚人并没有给出定义。而对于该矛是否能刺穿其他盾，不管对与错，这位楚人给出了确定的答案。我们读完这个故事，并不会认为，楚人的矛与盾不能存在。或者认为，这位(卖这样的矛与盾的)楚人不能存在，或者更荒唐地认为，《韩非子》这本书并不存在。其实，逻辑矛盾说明的是，书中的楚人对于矛与盾给出的说明是矛盾的。然而，到了近代，又有了一个类似的悖论，我们却给出了奇怪的答案。
16、1922年，罗素50岁，成为英国工d议员候选人。为M．D．康韦纪念讲座作《论自由思想与官方宣传》的演讲。写出了《三种途径走向世界》，这时的罗素，学术、政治合为一体了。但他不像一位学者，更像一位自由斗士。
17、②如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽(所有公理都不互相矛盾)时，它的自洽性不可能在该系统内证明。
18、这在某种程度上就代表了科学和神学的一场较量，神权统治的中世纪刚刚过去，人本主义的理性时代正在到来，科学能不能在这场较量中取胜，就看人们如何处理微积分中矛盾重重的无限小量。牛顿要用无限小的距离增量除以无限小的时间增量，得出瞬时速度，这个速度又必须是有限的，于是他就不加解释地删去了瞬时速度中出现的无限小量，得到了一个正确的结果。贝克莱大主教抓住了把柄，攻击说无论删去的这个量是多么小，都使最终结果成为有误差的近似值，硬要说是一个精确值，只能造成矛盾。自身就有矛盾的科学又有什么资格指责宗教的暧昧神秘不可信？这里产生的是一个类似芝诺疑难的矛盾，无限的运算步骤为何会得出有限的固定结果？如果能像定义出无穷级数的收敛性一样定义出这种无限运算的有限结果，那么疑虑就澄清了。
19、二分法悖论：二分法以时空的连续性为前提，假设时空无限可分，不断取1/直至取至无穷小量.但将无穷小量视为0，运动者就会寸步难行.
20、 为了解决罗素悖论，演化出逻辑主义、直觉主义、形式主义等数学学派，产生了集合论的公理化。主要思想都是对集合加以限制，排除悖论，保留所有有价值的东西。庞加莱说：我们建造了一个围栏来放养羊群，以防止它们被狼侵害，但我们不知道在围栏中是否已经有狼。
21、德国数学家弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后无比伤心地表示：一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。
22、泰勒斯—米利都学派(也称爱奥尼亚学派)的创始人。被誉为“科学和哲学之祖”“希腊七贤之首”。在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想，标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。
23、 推理型知识网络演化的动力来源于自然人，这是本文的基本观点，也是迄今为止这一网络演化遵从的基本规律。自然人的局部可读性有效保证了这一网络系统的严密性和可靠性。从历史的宏观尺度来审视，这一网络系统演化过程的随机性和复杂性同样巨大。注意到人的复杂性、多元化、个性化，即每个人的兴趣、需求、特长都不一样，由各个自然人推理过程决定的节点之间的关系一定是千差万别的。这一网络系统的演化必定会受生长机制和推理者个人偏好的影响。每个网络都是从几个称之为公理或假说的小节点开始，通过添加新的节点而增长。虽然这一网络系统的演化历史在某些时刻会因为某些天才的“离经叛道”而改写，但多数时候这些新节点在决定连向哪里时，推理者往往会倾向选择那些拥有更多连接的节点，这是一个宏观历史规律。
24、这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，规则对于“理发师要不要给自己理发” 没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。
25、要讲明这场危机，首先要讲明科学中称之为还原论的一种观点，有时也称化归主义。借助数理逻辑的符号化形式化方法，它把一个公理演绎系统化归为另一个公理演绎系统，通过建立模型使一个系统的协调性归结为另一个系统的协调性，这样，证明了后者的协调性也就证明了前者的协调性。由于众多数学家的先后努力，几何化归到了代数(通过解析几何)，代数、分析等又化归到了集合论。推而广之，其他学科如物理、化学、生物也可以化归到数学上。现在整座数学大厦都建筑在集合论的基础上。如果证明了集合论的协调性，那么，数学整体的协调一致也就达到了。
26、22岁与阿鲁丝·史密斯结婚。39岁与她分居“冷战”。
27、1936年，罗素64岁，在泰恩河上纽卡斯尔的阿姆斯特朗学院为格雷伯爵纪念讲座演讲《宿命论与物理学》。与第三任妻子海伦-帕特里夏·斯彭斯结婚。
28、无理数作为无限不循环小数，超出人们对整数比的直观感受，进而暴露数学理论中存在的问题：离散的数量概念的片面性.而芝诺悖论更为全面地揭示了：离散和连续都必然导致矛盾，其中，二分法悖论和阿基里斯悖论揭示了连续的片面性，飞矢不动悖论和运动场悖论揭示了离散的片面性.
29、1896年，罗素24岁，偕夫人访美，到霍普金斯大学和布赖恩大学讲学。这也间接证明英国剑桥大学作为全球顶尖大学的地位，才毕业二年的大学生，就受邀到美国名校讲学了。这一年，他主要作品《德国社会民主》。
30、“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”
31、“数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。然而在1903年，集合论被发现是有漏洞的！这一发现就像在平静的水面上投下了一块巨石，它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。英国数学家罗素就是这一危机的“始作俑者”。
32、成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。
33、希帕索斯被淹死了，他发现的无理数却加入了数系，人类对数的认识扩展到了实数。用今天的眼光看来，由无理数导致的这场危机确有其深刻的原因。在此之前，自然数基础上引入了分数，没有导致危机；在此之后，又引入零和负数，甚至引入虚数都没有导致危机，为什么偏偏引入无理数人们才感到难以接受，认为是一场危机？原因没有其他，就是由引入无理数而在数系中第一次出现了暗含着悖论的稠密不可数的实无限集。
34、1903年，罗素31岁，写出《数学原理》初稿，书中提出著名的“罗素悖论”，引发数学界震荡。并以论文《几何基础》获剑桥大学三一学院研究员职位。这一年，罗素还写成了《自由人的崇拜》。
35、如此，无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零。贝克莱因此嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。
36、罗素悖论的出现赫然指出康托尔集合论的缺漏之处，建立在康托尔集合论之上的数学大厦轰然崩塌，引发了第三次数学危机.
37、1908年，策梅罗(ErnstZermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
38、(4)韩锐锋，冯炎，郝自军.芝诺悖论分析及极限解释(A).宁夏师范学院学报(自然科学)
39、此时，理发师无比纠结：到底该不该给自己刮胡子？
40、正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：
41、1924年，罗素52岁，在美国巡回演讲《科学的未来》《怎样获得自由与幸福》。以《布尔什维克主义与西方》为题，面对“争取公众参议社团”人士，同司各特·尼尔林辩论。这时的罗素，完全是一个政治人物了。
42、抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面，请举例。
43、作为自由主义者，罗素一生四次婚姻，合则婚，不合则离。这和中国传统道德是相违背的。
44、可是，罗素让数学的基础动摇了，这就是数学史上著名的第三次数学危机。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了几十年得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
45、本文摘自：《数学文化》第12卷第3期2021
46、作为文学家，罗素一生都在写作，并身体力行留下大量的作品，获得了诺贝尔文学奖。80岁后开始创作写小说、散文。
47、策梅洛(Zermelo)、弗伦克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。
48、朱松纯|人工智能的现状、任务、构架与统一(中)
49、1947年，罗素75岁，在同仁寓所向全英图书会社讲演《哲学与政治》。
50、无理数的发现以及芝诺悖论(传送门)引发了第一次数学危机。
51、为让人好理解“罗素悖论”，常用“理发师悖论”作例子：
52、蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。
53、希帕苏斯是毕达哥拉斯学派的一员，有一天，他正在思考“边长为1的正方形其对角线长度是多少呢”这一问题时，发现这一长度不能用整数和分数来表示，只能用一个全新的数来表示，从而发现了第一个无理数。
54、在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。
55、理发师如果给自己理发，那么他就是给自己理发的人，他就不能给自己理发；反之，如果理发师找人给他理发，那他就是不给自己理发的人，他应该给自己理发。
56、经过数位杰出数学家对于微积分学基础概念的重建后，第三次数学危机才终于得以解决。
57、1915年，罗素43岁，向曼彻斯特哲学协会讲演“物质的基本要素”。罗素仍然在布道。
58、但是悖论产生危机，这既是科学的产物，又刺激科学的进步。危机产生变革，变革刺激进步，也由此数学世界在一次次的危机考验下变得越发严谨与牢固，呈现出兴旺繁荣的姿态。
59、为填补这个漏洞，世界上的数学家们，包括罗素自己，又忙了几十年。这也是罗素《数学原理》写于1903年，问世于1910年的原因，这本书，奠定了罗素在数学史上的大师地位。
60、在《数学原理》中，罗素阐释了一个集合论悖论，由于它只涉及集合论中最基础的东西，易于理解，因而在数学界广泛传播。
61、预言二：假如中国人能够自由地从西方文明中吸取我们所需要的东西，抑制西方文明中某些坏因素，那么中国人完全能从他们自己的文化传统中获得一种有机的发展，并能结出一种把西方文明和中国文明的优点珠联璧合的灿烂成果。
62、毕达哥拉斯是公元前5世纪著名的数学家和哲学家，他创立了以“万物皆数”为哲学基石的毕达哥拉斯学派。在毕达哥拉斯学派，他们的数学信仰就是“一切数均可表示成整数或整数之比”，可当希帕苏斯出现后，一切都改变了。
63、(2)陆新生.数学史上的三次危机(J).科学教育与博物馆，2020(1/2)：65-
64、数学的应用广泛性表现在：一切科学技术原则上都可以借助于数学的知识和思想方法来解决有关的问题。数学与人的生活、社会的发展、科学技术的进步息息相关；数学为其他学科的建立和发展提供了条件和基础。数学是人类文化的一个重要组成部分。数学的地位已经或者正在发生着巨大的变化。近几十年来，随着现代数学的飞速发展以及计算机技术的兴起和广泛应用，许多科学家不仅将数学从自然科学中分离出来，从而确立了数学作为自然科学基础的地位，而且越来越多地投入到应用数学的前沿研究，使数学的应用成为一种手段、一种思想方法和一种思维习惯。
65、 运动场悖论：三列物体A、B、C，A静止不动，B和C相向而行.相同的一段距离，B经过C中的物体数量是经过A中的两倍，推得一半时间和整体时间相等.
66、集合论是颠覆了很多前人的想法，因而很难为人所接受。比如权威克罗内克就曾攻击康托尔的理论长达十年以上，甚至康托尔自己也发现集合论中其实存在着漏洞无法解决，以至于一度精神崩溃，最终在精神病院逝世。
67、1894年，罗素22岁，这一年毕业任英国驻巴黎名誉参赞，这是他第一次走向社会。同年，与阿鲁丝·史密斯结婚。这是他第一次走进婚姻家庭。
68、1872年5月15日，罗素出生于一个贵族庄园。
69、通过这样的逻辑推理与概念分析，居然可以证明或者否证一个经验问题。
70、一个图书馆要编纂一本书，这本书的内容是列出该图书馆所有不列出自己书名的书，那么，这本目录的书要不要列出自己的书名呢？
71、1948年，罗素76岁，在去挪威的特隆赫姆作讲演“防止战争”的途中飞机失事，身穿笨重大衣游泳十分钟后得救。写出《人类知识》。在英国广播公司里恩讲座作头几讲，谈《权威与个人》。罗素命大！大难不死，必有后福！
72、这句话就是说谎者悖论。有意思在于，这句话没有答案。如果埃庇米尼得斯说的是真的，那就不符合“这句话是谎话”，如果是假的，那就符合“这句话是谎话”，那么这句话就是真话。这就是一个典型的自我指涉引发的悖论。
73、(1)立方倍积，即求作一个立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍